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導語
在激光光學系統的設計中，我們常常會遇到一個令人頭疼的現象：
明明按照幾何光學公式1/f = 1/s + 1/s’計算好了透鏡位置，為什么實際測量到的光斑大小和位置總是有偏差？為什么想把光斑聚焦得更小，卻發現焦深變得極短？
答案在于：激光不是直線，而是波。
大多數激光應用都假設光束是理想的高斯光束（Gaussian Beam）。它的傳播規律、聚焦特性與我們熟悉的傳統成像光學大相徑庭。如果繼續沿用簡單的幾何光學思維，你的激光系統設計注定會存在誤差。
今天，我們將基于經典教程，深入剖析高斯光束的傳播機理、薄透鏡公式修正以及“焦距變換"這一反直覺現象。
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01 什么是真正的高斯光束？
The Anatomy of a Gaussian Beam
當我們談論激光束時，我們首先要明確它的能量分布。理想的基模激光束（TEM00）其輻照度分布是軸對稱的，且隨著離軸距離的增加呈高斯函數衰減。
但在工程實踐中，沒有真正的理想光束。我們通常引入 M2?因子（光束質量因子） 來描述真實激光束與衍射極限下的理想高斯光束的差距。
一個理想高斯光束的輻照度分布公式如下：
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這里有一個關鍵概念：光束半徑 w(z）。
它并不是光束的“邊緣"，而是指輻照度下降到峰值 I0的 1/e2（約13.5%）處的徑向距離。
圖1: 高斯光束的束腰定義為輻照度為其較大值1/e2 (13.5%) 的位置
02 束腰、發散與瑞利長度
Understanding Propagation Parameters
激光束在空間傳播時，其直徑并不是恒定的。受衍射效應影響，光束會經歷“收斂-束腰-發散"的過程。
• 束腰 (Beam Waist, w?)：光束直徑最小的位置。
• 發散角 (Divergence, θ)：描述光束在遠場擴散程度的參數。
這兩者之間存在著一個類似于“測不準原理"的制約關系：
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劃重點： 束腰越小，發散角越大；束腰越大，光束準直性越好。這就是為什么激光擴束鏡通過放大光束直徑，反而能獲得更準直光束的物理原因。
此外，還有一個工程師必須掌握的參數——瑞利長度 (zR)。
它定義了光束橫截面積增加到束腰處兩倍（即直徑增加到 √2 w?）時的軸向距離。
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瑞利長度決定了激光加工中的焦深（Depth of Focus）。如果你需要切割厚材料，你不僅需要極小的光斑，還需要足夠長的瑞利長度。
圖2: 高斯光束通過其束腰 (w0)、瑞利長度 (zR) 和發散角 (θ) 定義
圖3: 當高斯光束離束腰非常近和非常遠時，其波前曲率接近于零
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03 修正：高斯光束的薄透鏡公式
The Gaussian Thin Lens Equation
這是最容易“翻車"的地方。
在傳統成像光學中，我們使用公式
但在激光光學中，我們需要引入Sidney Self在1983年推導的高斯薄透鏡公式：
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• s：輸入束腰到透鏡的距離
• s’：透鏡到輸出束腰的距離
• f：透鏡焦距
注意： 當瑞利長度zR趨近于0時，這個公式才退化為我們熟悉的幾何光學公式。對于長焦距透鏡或大光斑系統，直接套用幾何公式會導致焦平面位置計算嚴重偏差。
圖4: zR/f=0 的曲線對應于傳統的薄透鏡公式。zR/f>0 的曲線表 明，高斯成像具有瑞利長度所定義的最小和較大成像距離
為了簡化計算，我們通常引入放大倍率 α：
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掌握了這個倍率，你就可以算出透鏡后的新束腰大小w?'和新瑞利長度zR'。
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04 實戰：如何獲得最小的聚焦光斑？
Focusing a Laser Beam to a Spot
在激光打標、切割或手術應用中，我們的核心目標通常只有一個：把能量集中在盡可能小的點上。
根據推導，輸出束腰w?'的計算公式為：
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如何讓 w?'最小？觀察公式分母，我們需要較大化分母。這意味著：
1.減小焦距f：使用短焦透鏡。
2.增大輸入光束直徑：在聚焦透鏡前加裝擴束鏡。
這里有兩種極限情況的簡化算法，非常適合工程估算：
情況 A：透鏡在瑞利范圍內 (s ? zR)此時，輸出束腰簡化為：
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這再次印證了：輸入光斑 w?越大，聚焦光斑w?'越小。
情況 B：透鏡遠離瑞利范圍 (s ? zR)此時，輸出束腰簡化為：
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圖5: 將激光束聚焦到盡可能小的尺寸對于包括這種激光切割裝置在內的廣泛應用至關重要
圖6: 對于放大倍率2，輸出束腰將是輸入束腰的兩倍，輸出發散將是輸入光束發散的一半
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05 反直覺現象：高斯焦距變換
Gaussian Focal Shift
這是一個經常困擾新手的問題：光強較大的點，真的在透鏡的幾何焦點上嗎？
答案是：不一定。
這種現象被稱為高斯焦距變換（Gaussian Focal Shift）。
當我們將高斯光束聚焦時，光束半徑最小的位置（即實際束腰位置）通常會稍微偏向透鏡一側，而不是落在幾何焦距f處。
雖然在大多數高頻應用中這個偏移量很小，但在精密測量或微納加工中，這個微小的Δz足以影響加工質量。
?最/大光強位置≠幾何焦點?
?只有當輸入光束近似為準直光（s趨向于無窮大）或聚焦在束腰附近時，最小光斑位置才會與幾何焦點重合。
圖7: 目標處的光束半徑在聚焦光束的束腰出現在目標前的特定位置，而不是目標處時達到最小值
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結尾
高斯光束的傳播并非玄學，而是遵循著嚴謹的物理與數+學規律。
從 M2因子的評估，到薄透鏡公式的修正，再到對焦距變換的理解，每一個細節都決定了激光系統的最終性能。在設計光學系統時，切記不能簡單地將激光等同于幾何光線。
總結一下今天的關鍵點：
1.激光束腰與發散角成反比。
2.計算激光聚焦位置時，請使用高斯薄透鏡公式，而非幾何光學公式。
3.想要更小的聚焦光斑？請縮短焦距或擴大入射光束。
4.警惕“焦距變換"，實際焦點可能比你計算的更靠近透鏡。
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